三次元空間における行列演算の復習

数学
線形代数
Published

June 27, 2020

ぱっと思いつかなかったのでメモ．

任意の単位ベクトルへの射影行列

任意の単位ベクトルを\(\vec{n}\)とすると，\(\vec{n}\)への射影行列\(P_{p}\)は以下の様に表されます．

\[ P_{p} = \vec{n}\vec{n}^{T} \]

法線ベクトルに直交する平面への射影行列

法線ベクトルへの射影を元のベクトルから引くことで，法線ベクトルと直交する平面への射影が可能となります． そのため，法線ベクトルと直交する平面への射影行列\(P_{o}\)は以下のように表されます．

\[ \begin{aligned} P_{o} &= I - P_{p} \\ &= I - \vec{n}\vec{n}^{T} \end{aligned} \]

任意の単位ベクトルを回転軸とした回転行列

任意の単位ベクトル\(\vec{n}\)を以下のように定義します． \[ \vec{n} = \left(n_x, n_y, n_z \right) \]

ここで，Z軸方向の単位ベクトル\(\vec{e_{z}}\)を\(\vec{n}\)に変換する行列\(P\)を考えます．\(P\)はY軸回転\(R_{y}\)とZ軸回転\(R_{z}\)の積で以下のように表現できます． \[ \begin{aligned} c_{\theta} &= \frac{n_{x}}{\sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2}}} \\\\ s_{\theta} &= \frac{n_{y}}{\sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2}}} \\\\ c_{\phi} &= \frac{n_{z}}{\sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}} \\\\ s_{\phi} &= \frac{\sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2}}}{\sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}}} \\\\ R_{xz} &= \left(\begin{array}{rrr} c_{\phi} & 0 & s_{\phi} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -s_{\phi}& 0 & c_{\phi} \end{array}\right)\\\\ R_{xy} &= \left(\begin{array}{rrr} c_{\theta} & -s_{\theta} & 0 \\\\ s_{\theta} & c_{\theta} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\\\ P &= R_{xy} * R_{xz} \end{aligned} \]

\(P\)によって変換されたZ軸を\(\vec{e_{z}'}(=\vec{n})\)とすると，所望の任意の単位ベクトルを回転軸とする回転行列は以下の３つの変換の合成で表すことができます．

  1. \(\vec{e_{z}}\)を\(\vec{e_{z}}'\)に変換する\(P\)
  2. \(\vec{e_{z}}\)を回転軸とする回転\(R_{a}\)
  3. \(\vec{e_{z}}'\)を\(\vec{e_{z}}\)に変換する\(P^{T}\)

したがって，最終的な回転行列\(R\)は以下のように表されます．

\[ \begin{aligned} R_{a} &= \left(\begin{array}{rrr} \cos\left(a\right) & -\sin\left(a\right) & 0 \\\\ \sin\left(a\right) & \cos\left(a\right) & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\ R &= P * R_{a} * P^{T} \\\\ &= \left(\begin{array}{rrr} \mathit{n_{x}}^{2} + {\left(\mathit{n_{y}}^{2} + \mathit{n_{z}}^{2}\right)} \cos\left(a\right) & -\mathit{n_{x}} \mathit{n_{y}} \cos\left(a\right) + \mathit{n_{x}} \mathit{n_{y}} - {\left(\mathit{n_{z}}^{3} + {\left(\mathit{n_{x}}^{2} + \mathit{n_{y}}^{2}\right)} \mathit{n_{z}}\right)} \sin\left(a\right) & -\mathit{n_{x}} \mathit{n_{z}} \cos\left(a\right) + \mathit{n_{x}} \mathit{n_{z}} + \mathit{n_{y}} \sin\left(a\right) \\\\ -\mathit{n_{x}} \mathit{n_{y}} \cos\left(a\right) + \mathit{n_{x}} \mathit{n_{y}} + {\left(\mathit{n_{z}}^{3} + {\left(\mathit{n_{x}}^{2} + \mathit{n_{y}}^{2}\right)} \mathit{n_{z}}\right)} \sin\left(a\right) & \mathit{n_{y}}^{2} + {\left(\mathit{n_{x}}^{2} + \mathit{n_{z}}^{2}\right)} \cos\left(a\right) & -\mathit{n_{y}} \mathit{n_{z}} \cos\left(a\right) + \mathit{n_{y}} \mathit{n_{z}} - \mathit{n_{x}} \sin\left(a\right) \\\\ -\mathit{n_{x}} \mathit{n_{z}} \cos\left(a\right) + \mathit{n_{x}} \mathit{n_{z}} - {\left(\mathit{n_{x}}^{2} \mathit{n_{y}} + \mathit{n_{y}}^{3} + \mathit{n_{y}} \mathit{n_{z}}^{2}\right)} \sin\left(a\right) & -\mathit{n_{y}} \mathit{n_{z}} \cos\left(a\right) + \mathit{n_{y}} \mathit{n_{z}} + {\left(\mathit{n_{x}}^{3} + \mathit{n_{x}} \mathit{n_{y}}^{2} + \mathit{n_{x}} \mathit{n_{z}}^{2}\right)} \sin\left(a\right) & \mathit{n_{z}}^{2} + {\left(\mathit{n_{x}}^{2} + \mathit{n_{y}}^{2}\right)} \cos\left(a\right) \end{array}\right) \\\\ &= \left(\begin{array}{rrr} \cos\left(a\right) + \mathit{n_{x}}^{2} \left(1-\cos\left(a\right)\right) & \mathit{n_{x}} \mathit{n_{y}} \left(1 - \cos\left(a\right) \right) - \mathit{n_{z}}\sin\left(a\right) & \mathit{n_{x}} \mathit{n_{z}} \left( 1 - \cos\left(a\right) \right) + \mathit{n_{y}} \sin\left(a\right) \\\\ \mathit{n_{x}} \mathit{n_{y}}\left( 1 - \cos\left(a\right) \right) + \mathit{n_{z}} \sin\left(a\right) & \cos\left(a\right) + \mathit{n_{y}}^{2}\left( 1- \cos\left(a\right)\right) & \mathit{n_{y}} \mathit{n_{z}} \left( 1- \cos\left(a\right) \right) - \mathit{n_{x}} \sin\left(a\right) \\\\ \mathit{n_{x}} \mathit{n_{z}}\left(1- \cos\left(a\right) \right) - \mathit{n_{y}}\sin\left(a\right) & \mathit{n_{y}} \mathit{n_{z}} \left(1- \cos\left(a\right) \right) + \mathit{n_{x}}\sin\left(a\right) & \cos\left(a\right) + \mathit{n_{z}}^{2} \left( 1-\cos\left(a\right) \right) \end{array}\right) \end{aligned} \]